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红黑树

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什么是红黑树

红黑树依然是一棵二分搜索树,《算法导论》中的红黑树定义如下:

  1. 每个节点或者是红色的,或者是黑色的
  2. 根节点是黑色的
  3. 每一个叶子节点(最后的空节点)是黑色的
  4. 如果一个节点是红色的,那么他的孩子节点都是黑色的
  5. 从任意一个节点到叶子节点,经过的黑色节点是一样的

  在学习红黑树之前,我们有必要先学习一下什么是2-3树,学习2-3树不仅对于理解红黑树有帮助,对于理解B类树,也是有巨大帮助的。我们常用到的磁盘存储、文件系统、数据库等相应的数据存储都是采用的B类型这样的数据结构。

什么是2-3树

  2-3树依然满足二分搜索树的基本性质,但2-3树不是一种二叉树,2-3树有两种节点,节点可以存放一个元素或者两个元素;2-3树是一棵绝对平衡的树,2-3树对于任意一个节点的的左右子树的高度一定是相等的

2-3树的添加操作

  2-3树的添加操作将新节点添加到空的位置,若添加一个比根节点小的元素,并且根节点的左子树为空,待添加的新元素会和根节点先融合,由二节点变成三节点,当此时再添加一个元素时,会发现根节点的左子树仍然为空,就还是会先和根节点向融合,但2-3树不能有四节点,最多只能有三节点,所以需要将这个四节点分裂成有三个二节点的绝对平衡二叉树,如图:

  让我们再来看一下2-3树添加元素的过程:

  再向2-3树中添加一些元素,找出规律:

  通过如上的分析,不难知道,如果添加一个元素是添加到一个2-节点,会直接与之融合,如果是添加到一个3-节点,会暂时融合形成一个四节点,然后分裂成一个绝对平衡树。如下图所示:

红黑树与2-3树的等价性

  我们在这里定义所有的红色节点都是向左倾斜的,红色节点代表与父亲节点相融合,由于我们可以通过2-3树画出一个棵红黑树:

  由此可知,红黑树是保持“黑平衡”的二叉树,严格意义上 ,不是平衡二叉树,最大高度为2logn,并且从图中也可以看出,只有三节点左侧的元素才是红色的。红黑树和AVL树:由于红黑树的最大高度是2logn,所以在查找时,相比于AVL树会慢一些,而红黑树的添加和删除元素比AVL树更快一些,如果只是用于查询,AVL树的性能要更高一些。
  向红黑树中添加一个新元素,类比于2-3树中添加一个新元素,就是或者添加进2-节点,形成3-节点;或者添加进3-节点,暂时形成一个4-节点,这样我们可以让我们的红黑树,永远添加红节点。由于我们在本文是定义的所有红色节点都是向左倾斜的,当我们新添加的红色节点在根节点的右侧时,我们需要先进行左旋转擦欧总,然后再进行染色操作,在我们左旋转的过程中并不保持红黑树的性质,如下图:

左旋转的代码实现:

    //   node                     x
    //  /   \     左旋转         /  \
    // T1   x   --------->   node   T3
    //     / \              /   \
    //    T2 T3            T1   T2
    private Node leftRotate(Node node){

        Node x = node.right;

        // 左旋转
        node.right = x.left;
        x.left = node;

        x.color = node.color;
        node.color = RED;

        return x;
    }

当我们向红黑树中的“3-节点”添加新元素,由于添加的新节点颜色都默认是红色的,红色节点表示是去和 父亲节点融合的,当4-节点分裂成3个2-节点时,新的根节点需要和父亲节点去融合,这意味着这个新的根节点需要变成红色节点。

颜色翻转的代码实现:

    // 颜色翻转
    private void flipColors(Node node){

        node.color = RED;
        node.left.color = BLACK;
        node.right.color = BLACK;
    }

三个2-节点的自平衡,如图:

右旋转代码实现:

    //     node                   x
    //    /   \     右旋转       /  \
    //   x    T2   ------->   y   node
    //  / \                       /  \
    // y  T1                     T1  T2
    private Node rightRotate(Node node){

        Node x = node.left;

        // 右旋转
        node.left = x.right;
        x.right = node;

        x.color = node.color;
        node.color = RED;

        return x;
    }

三节点的另外一种情况:

像红黑树中添加节点,就分析到这里了,下面让我们来用代码实现一个红黑树和红黑树的添加操作:

public class RBTree<K extends Comparable<K>, V> {

    private static final boolean RED = true;
    private static final boolean BLACK = false;

    private class Node{
        public K key;
        public V value;
        public Node left, right;
        public boolean color;

        public Node(K key, V value){
            this.key = key;
            this.value = value;
            left = null;
            right = null;
            color = RED;
        }
    }

    private Node root;
    private int size;

    public RBTree(){
        root = null;
        size = 0;
    }

    public int getSize(){
        return size;
    }

    public boolean isEmpty(){
        return size == 0;
    }

    // 判断节点node的颜色
    private boolean isRed(Node node){
        if(node == null)
            return BLACK;
        return node.color;
    }

    //   node                     x
    //  /   \     左旋转         /  \
    // T1   x   --------->   node   T3
    //     / \              /   \
    //    T2 T3            T1   T2
    private Node leftRotate(Node node){

        Node x = node.right;

        // 左旋转
        node.right = x.left;
        x.left = node;

        x.color = node.color;
        node.color = RED;

        return x;
    }

    //     node                   x
    //    /   \     右旋转       /  \
    //   x    T2   ------->   y   node
    //  / \                       /  \
    // y  T1                     T1  T2
    private Node rightRotate(Node node){

        Node x = node.left;

        // 右旋转
        node.left = x.right;
        x.right = node;

        x.color = node.color;
        node.color = RED;

        return x;
    }

    // 颜色翻转
    private void flipColors(Node node){

        node.color = RED;
        node.left.color = BLACK;
        node.right.color = BLACK;
    }

    // 向红黑树中添加新的元素(key, value)
    public void add(K key, V value){
        root = add(root, key, value);
        root.color = BLACK; // 最终根节点为黑色节点
    }

    // 向以node为根的红黑树中插入元素(key, value),递归算法
    // 返回插入新节点后红黑树的根
    private Node add(Node node, K key, V value){

        if(node == null){
            size ++;
            return new Node(key, value); // 默认插入红色节点
        }

        if(key.compareTo(node.key) < 0)
            node.left = add(node.left, key, value);
        else if(key.compareTo(node.key) > 0)
            node.right = add(node.right, key, value);
        else // key.compareTo(node.key) == 0
            node.value = value;

        if (isRed(node.right) && !isRed(node.left))
            node = leftRotate(node);

        if (isRed(node.left) && isRed(node.left.left))
            node = rightRotate(node);

        if (isRed(node.left) && isRed(node.right))
            flipColors(node);

        return node;
    }

    // 返回以node为根节点的二分搜索树中,key所在的节点
    private Node getNode(Node node, K key){

        if(node == null)
            return null;

        if(key.equals(node.key))
            return node;
        else if(key.compareTo(node.key) < 0)
            return getNode(node.left, key);
        else // if(key.compareTo(node.key) > 0)
            return getNode(node.right, key);
    }

    public boolean contains(K key){
        return getNode(root, key) != null;
    }

    public V get(K key){

        Node node = getNode(root, key);
        return node == null ? null : node.value;
    }

    public void set(K key, V newValue){
        Node node = getNode(root, key);
        if(node == null)
            throw new IllegalArgumentException(key + " doesn't exist!");

        node.value = newValue;
    }

    // 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
    private Node minimum(Node node){
        if(node.left == null)
            return node;
        return minimum(node.left);
    }

    // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
    private Node removeMin(Node node){

        if(node.left == null){
            Node rightNode = node.right;
            node.right = null;
            size --;
            return rightNode;
        }

        node.left = removeMin(node.left);
        return node;
    }

    // 从二分搜索树中删除键为key的节点
    public V remove(K key){

        Node node = getNode(root, key);
        if(node != null){
            root = remove(root, key);
            return node.value;
        }
        return null;
    }

    private Node remove(Node node, K key){

        if( node == null )
            return null;

        if( key.compareTo(node.key) < 0 ){
            node.left = remove(node.left , key);
            return node;
        }
        else if(key.compareTo(node.key) > 0 ){
            node.right = remove(node.right, key);
            return node;
        }
        else{   // key.compareTo(node.key) == 0

            // 待删除节点左子树为空的情况
            if(node.left == null){
                Node rightNode = node.right;
                node.right = null;
                size --;
                return rightNode;
            }

            // 待删除节点右子树为空的情况
            if(node.right == null){
                Node leftNode = node.left;
                node.left = null;
                size --;
                return leftNode;
            }

            // 待删除节点左右子树均不为空的情况

            // 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
            // 用这个节点顶替待删除节点的位置
            Node successor = minimum(node.right);
            successor.right = removeMin(node.right);
            successor.left = node.left;

            node.left = node.right = null;

            return successor;
        }
    }
}

最后,在这里做一个红黑树的总结:
  对于完全随机的数据,普通的二分搜索树就很好用,缺点:机端情况会退化成链表(或者高度布不平衡);对于查询较多的情况,AVL树很好用!红黑树牺牲了平衡性(2logn的高度),统计性能更优(总和增删改查所有的操作)。

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